全排列

全排列主要结合DFS求出一个数组中所有数字的排列结果，这个结果往往需要从小到大排列。
此外，全排列还经常要求出某一个排列的前一个排列或后一个排列，此时需要用到 pre_permutation() 和 next_permutation()

算法模板

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def next_permutation(nums):
    n = len(nums)
    # traversal the list from its end
    # if find the first pair of numbers that is not inverse,begin to change its positon 
    for i in range(n-2,-1,-1):
        if nums[i] < nums[i+1]:
            # begin to find the first number that are bigger than it
            for j in range(n-1,-1,-1):
                if nums[i] < nums[j]:
                    nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
                    nums[i+1:] = sorted(nums[i+1:])
                    # this funtion also run one time
                    break
            # notice that the function only run one time
            break
    return nums

def pre_permutation(nums):
    n = len(nums)
    # the traceback action of the former function
    for i in range(n-2,-1,-1):
        if nums[i] > nums[i+1]:
            for j in range(n-1,-1,-1):
                if nums[i] > nums[j]:
                    # swap
                    nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
                    nums[i+1:] = sorted(nums[i+1:], reverse = True)
                    break
            break
    return nums

例题演示

例题一：全排列问题

题目描述:

按照字典序输出自然数 11 到 nn 所有不重复的排列，即 nn 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式:

一个整数 nn。

输出格式:

由 1∼n1 \sim n 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。
每个数字保留 55 个场宽。

提示:

1≤n≤91 \leq n \leq 9。

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def dfs(left, visited, path):
    if left == 0:
        # all of the number have already been put on its position 
        print('    ', end = '')
        for i in path:
            print(i, end = '    ')
        print()
    for i in range(1,n+1):
        if visited[i]:
            continue
        # hasn't been visited
        path.append(i)
        left -= 1
        visited[i] = True
        dfs(left, visited, path)
        # traverse back
        path.pop()
        left += 1
        visited[i] = False

    
n = int(input())
visited = [False]*(n+1)
path = []
dfs(n, visited, path)

例题二：[NOIP2004 普及组] 火星人

题目描述：
人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。
火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 1,2,3,⋯1,2,3,\cdots。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。
一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,41,2,3,4 和 55，当它们按正常顺序排列时，形成了 55 位数 1234512345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 55 位数 1235412354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 5432154321，在所有能够形成的 120120 个 55 位数中，1234512345 最小，它表示 11；1235412354 第二小，它表示 22；5432154321 最大，它表示 120120。下表展示了只有 33 根手指时能够形成的 66 个 33 位数和它们代表的数字：

三进制数 代表的数字
123123 11
132132 22
213213 33
231231 44
312312 55
321321 66

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式:

共三行。
第一行一个正整数 NN，表示火星人手指的数目（1≤N≤100001 \le N \le 10000）。
第二行是一个正整数 MM，表示要加上去的小整数（1≤M≤1001 \le M \le 100）。
下一行是 11 到 NN 这 NN 个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式:

NN 个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

提示:

对于 30%30\% 的数据，N≤15N \le 15。
对于 60%60\% 的数据，N≤50N \le 50。
对于 100%100\% 的数据，N≤10000N \le 10000。

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def add():
    # add one to the number that stored in the list
    global nums
    n = len(nums)

    if n > 1:
        # traversal from the end of the list
        # when find two number that are not inverse,swap the smaller one with the first one that bigger than the number
        for i in range(n-2,-1,-1):
            if nums[i] < nums[i+1]:
                for j in range(n-1,-1,-1):
                    if nums[i] < nums[j]:
                        # swap
                        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
                        # all of the numbers that behind nums[i] need to be sorted again
                        nums[i+1:] = sorted(nums[i+1:])
                        break
                break 
            else:
                if i == 0:
                # no suitable answer
                    nums.sort() 

n = int(input())
m = int(input())
nums = [int(i) for i in input().split()]
# add the small variable to the current number
for i in range(m):
    add()
for i in range(len(nums)):
    print(nums[i],end = ' ')